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2015-3-24 08:58| 发布者: admin| 查看: 6794| 评论: 0

摘要:   通信系统都有发送机和接收机,为了提高系统的可靠性,通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器,信道内的噪声构成了一个随机过程,经过该带通滤波器之后,则变成了窄带随机过程,因此,讨论窄带随机过程的规律是 ...
 

  通信系统都有发送机和接收机,为了提高系统的可靠性,通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器,信道内的噪声构成了一个随机过程,经过该带通滤波器之后,则变成了窄带随机过程,因此,讨论窄带随机过程的规律是重要的。
  一、窄带随机过程的定义
  窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。图3.5.1(a)中,波形的中心频率为,带宽为,当满足时,就可认为满足窄带条件。
  若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
  若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
  随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。

图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形

  二、窄带随机过程的表示方式
  如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形,则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波,如图3.5.1(b)所示。因此窄带随机过程可用下式表示成:
  式中,是窄带随机过程包络;
  是窄带随机过程的随机相位。
  窄带随机过程也可用下式表示
  其中:
  这里的分别被称作的同相分量和正交分量。
  可见,的特性可以由的特性来确定。反之,若已知的特性,怎样来求的特性呢?
  三、同相分量与正交分量的特性
  设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。可以证明,它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程,而且与具有相同的方差。
  1.数学期望
  已设是平稳的,且均值为零,即对于任意时刻,有,所以,可得
  即
  2.自相关函数
  我们知道一些特性可以从自相关函数中得到,所以,按定义的自相关函数为
  将上式展开,并取数学期望为
  其中
  因为是平稳的,可以令,得
(1)
  同理,令,得
(2)
  如果是平稳的,则也是平稳的。
  由于式(1)和式(2)相等,则应有
  可见,的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数,而且根据互相关函数的性质,有
  可见,有
  上式表示,的奇函数,所以
  同理可以证明
  得到
  即
  这表明具有相同的方差。
  3.概率密度函数
  因为独立,则的二维概率密度函数为
  利用式(3.5.16),上式改写为
  以上讨论的是由的特性推导出同相分量和正交分量的特性。
  四、包络与相位的特性
  现在来确定窄带平稳高斯过程的包络和相位的特性,随机包络和随机相位可表示为
  利用概率论中随机变量变换的关系来求解的概率密度函数,把在某一时刻的随机变量用来表示。根据随机变量变换关系有
  其中,的联合概率密度函数;
  为雅可比行列式,它等于
  由
  进行偏微分,并代入雅可比行列式,得
  于是
  因为,所以上式中包络,而内取值。
  利用概率论中的边际分布知识,可求得包络的概率密度函数为
  可见,服从瑞利分布。
  瑞利分布的特点:最大值发生在处,其值为
图3.5.2 窄带高斯过程包络的概率密度函数
  利用边际分布知识,可求得相位的概率密度函数为
  可见,随机相位在内服从均匀分布。
  所以窄带平稳高斯过程的包络和相位是独立的。
  五、窄带随机过程的功率谱密度
  结论:窄带随机过程同相分量和正交分量具有相同的功率谱密度,而且与窄带随机过程的功率谱密度具有如下关系式
  式中,设的频率范围,
  证明:窄带随机过程的同相分量和正交分量的提取方法如图3.5.4所示。
图3.5.4 同相分量和正交分量的提取方法
  1.同相分量
  对式两边乘以,得
  两边都通过截止频率为的低通滤波器,于是输出为,表示为
  其功率谱密度为
  1.同相分量
  同理,对式两边乘以,得
  用功率谱密度表示为
  由以上关系式,可画出功率谱密度如图3.5.3所示。
图3.5.3的功率谱密度

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